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Multiplication graphique des fractions (comprises entre 0 et 1) avec GeoGebra (Cycle 4)

mis à jour le 14/12/14

Découvrir et travailler les produits de fractions en construisant des schémas de partage dans une figure GeoGebra.

La multiplication n'est pas l'opération la plus compliquée du calcul en écriture fractionnaire. En effet, si on écrit des produits de fractions, quelques exemples suffisent pour que les élèves en devinent la règle.

Cependant, ils se contentent souvent d'appliquer le mécanisme sans vraiment le comprendre, et dès qu'il faut le mobiliser dans un problème, se retrouvent perdus. J'ai constaté que deux notions sont mal comprises. D'abord celle de fraction elle-même, qui n'est pour certains que deux nombres superposés séparés d'un trait (il y a toujours une partie des élèves qui redoute le chapitre sur les fractions), ensuite l'opération de multiplication.

Les figures GeoGebra présentées ici se veulent des outils pour travailler fractions et multiplication de façon concrète, en partageant un rectangle par le dessin, afin d'en fixer le sens dans l'esprit des élèves.

Exemple d'utilisation en classe

On peut se servir des figures en résolution de problèmes (je donne 1/4 de mes bonbons à Jacques, puis 2/3 de ce qui reste à Paul, etc.) ou même s'en servir pour découvrir la multiplication.

Pour cela, on peut procéder ainsi en pratique :
Au terme d'une activité sur le sens de la multiplication, qui démarre par des exemples évidents (du type 5 paquets de 8 stylos) pour aboutir à des situations plus difficiles (du type 2/3 de paquet de 21 grammes, puis 5/6 de 3/4 d'heures), on se rend compte que l'opération à conduire est toujours la même, la multiplication, mais qu'on ne sait plus en déterminer le résultat avec les tables.

L'avant dernier exemple a été vu en sixième, mais il faut le retravailler abondamment pour bien préparer le terrain. Des schémas dessinés ou la figure GeoGebra conviennent pour cela. Le dernier exemple est la nouveauté qui reste à découvrir. Prendre de soin de toujours fixer une unité (paquets de 8 stylos, de 21 grammes, de 60 minutes) évitera bien des difficultés, car il faut garder à l'esprit ce que représente le rectangle à partager.

Ceci étant fait, on est en mesure de représenter 5/6 de 3/4, et on sait que la quantité considérée est le produit de ces deux fractions. Pour en déterminer la valeur en écriture fractionnaire, il suffit de la comparer au rectangle-unité.

Ainsi, avec la méthode graphique, on ne se contente pas d'écrire des multiplications et de poser leurs résultats par une déclaration d'autorité. On effectue des multiplications avec un dessin et on en découvre le résultat, sans rien savoir de la règle bien sûr. Car la règle n'est pas nécessaire pour multiplier, c'est un algorithme qui raccourcira le processus plus tard.

Il est très agréable pour les élèves d'employer la méthode graphique pour effectuer des produits qu'ils pensaient hors de portée. Lorsque plusieurs produits de fractions sont déterminés et écrits au tableau, il est encore plus agréable pour eux de découvrir que ce processus un peu long est énormément raccourci en faisant le produit des numérateurs et des dénominateurs. Le dessin est toujours là, en appui, pour repenser ce qu'on fait et faire sentir que la règle de multiplication devinée à l'instant est tout à fait générale. Il l'explique, c'est l'avantage. On voit les produits sur le schéma et on sent donc pourquoi on a multiplié en haut et en bas, pourquoi le phénomène est général et non pas cantonné aux quelques exemples étudiés.

Il restera pourtant des motifs de trouble pour les élèves, non pas sur la méthode, mais sur les résultats (une multiplication qui donne moins que la quantité de départ, c'est impossible !)

Répétons : Pour éviter les difficultés, il est prudent de prendre le temps d'une révision préalable sur la façon graphique de «prendre une fraction d'une quantité», censément acquise en 6e. Avec cette précaution, l'idée du partage est revue, et reliée autant que faire se peut à celle de multiplication (quand je prends 2/3 de quelque chose, je multiplie ce quelque chose par 2/3) lorsque vient le temps de passer au cas où la quantité est elle-même une fraction. Là se trouve l'obstacle nouveau à surmonter, et il vaut mieux l'isoler.

Un des défauts de la méthode graphique est que les élèves prennent l'habitude de faire les calculs graphiquement et rechignent parfois à s'investir pour maîtriser le calcul écrit, en particulier en résolution de problème où il faut transposer l'énoncé une expression algébrique, ce qui est très difficile. Il faut reconnaître aux élèves que tant que le dessin est simple, la résolution de problèmes est en général infiniment plus rapide et parlante avec un schéma qu'avec un calcul. Ce n'est plus le cas lorsqu'on travaille avec des dénominateurs importants (plusieurs dizaines). Un second moment est donc nécessaire pour travailler les deux méthodes en parallèle, les comparer, et convaincre de leurs avantages respectifs. On bute alors sur le manque de temps pour achever ce programme, si intéressant pourtant. C'est dommage, car disposer d'une manière graphique alternative donne précisément un outil pour travailler la rédaction des expressions algébriques.

Les figures

La figure GeoGebra se présente sous trois formes. La plus dépouillée est la seule que j'ai utilisée en classe, car elle est plus souple d'emploi. Elle à l'avantage sur un schéma fait à la main de produire des partages en parts rigoureusement égales. On peut tout à fait considérer des fractions > 1, mais le dessin est plus difficile à interpréter. Il faudra sans doute aborder cette situation, car elle sera rencontrée par la classe.

multiplication graphique des fractions

Les autres formes sont des essais. Une se veut un rappel de méthode, une animation à vidéoprojeter en boucle, comme il en existe sur la toile pour les constructions géométriques.

mult fractions methode

La troisième forme de la figure est un essai d'exercice interactif que les élèves peuvent recommencer autant de fois qu'ils le veulent, en vue de s'entraîner à interpréter la multiplication. Les solutions de l'élève sont vérifiées et un score est donné. L'idée est de fournir à la classe une ressource à utiliser en autonomie. Le coût, comme avec tous les exerciseurs, est une certaine rigidité. Ce n'est qu'un mécanisme et au bout d'une dizaines de fois, on est fatigué de recommencer la même chose. Il n'en reste pas moins que la figure sera toujours là, prête à donner son coup de pouce, sur l'ENT ou sur n'importe quel autre support, en cas de doute, s'il faut un rappel ou un petit entraînement.

mult fractions exerciseur2

Activité proposée par Julien Baldacci

Production du Giptic de Mathématiques de l'académie de Paris

Ateliers GIPTIC
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