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Utilisation d’un smartphone en cours de mathématiques

Niveau : Terminale S

Prérequis : avoir déjà manipulé le logiciel GeoGebra. Connaître la notion de primitive d’une fonction

Durée : 1h

Scénario pédagogique :

Afin de faire découvrir le calcul intégral en terminale S, l’enseignant demande aux élèves de déterminer l’aire située en-dessous de la courbe représentative de la fonction définie par Smartphone en classe IM10, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites verticales d’équations x = 1 et x = 3.

Rapidement, les élèves se rendent compte qu’ils ne peuvent déterminer cette aire à l’aide des formules usuelles permettant de trouver l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un trapèze, etc.

Smartphone en classe IM1 

Mise en œuvre

Conditions matérielles :

L’établissement ne comporte pas de salle informatique à disposition ni de tablettes pour les élèves. En revanche, il a été remarqué au début de l’année que environ 80 % des élèves ont un smartphone. L’enseignant a demandé aux élèves d’installer l’application « GeoGebra – calculatrice graphique » qui est disponible gratuitement sur le Play Store®  ou l’AppStore®.

Les élèves travaillent en îlots par groupe de 3 ou 4 en classe entière (34 élèves).

Ils peuvent utiliser leur smartphone qu’ils se partagent éventuellement : les élèves utilisent ainsi leurs objets du quotidien dans une pratique appelée Bring Your Own Device (BYOD) ce qui signifie : « apportez votre propre appareil ». Par ailleurs, les élèves sont particulièrement précautionneux avec LEUR matériel. Cinq ordinateurs sont également disponibles dans la salle de classe et deux groupes de trois élèves décident de les utiliser. Ainsi chaque élève a accès à un outil numérique.

 

Organisation pédagogique :

L’énoncé est écrit au tableau et les élèves peuvent utiliser tous les outils qu’ils veulent. Aucune autre information ou indication n’est donnée.

Les élèves utilisent le logiciel GeoGebra pour la partie "recherche" puis un logiciel d’écriture collaborative.

Au bout de 15 minutes de recherches, l’enseignant affiche à l’aide du vidéo projecteur une figure représentant les éléments donnés dans l’énoncé (la courbe représentative et les deux droites).

Un rapporteur de quelques groupes explique en 2 minutes la méthode mise en œuvre par le groupe. Les autres élèves sont invités pendant 2 minutes maximum à poser des questions ou à suggérer des améliorations possibles.

La recherche reprend pendant 20 minutes et se termine par une mise en forme d’un compte-rendu de recherches. 

 Smartphone en classe IM8 .  Smartphone en classe IM9

Recherches des élèves (relevé de quelques groupes)

Groupe 1 : un trapèze

Certains élèves ont constaté que l’aire cherchée est proche de celle d’un trapèze et ils ont construit le trapèze avec le logiciel pour avoir une approximation de l’aire voulue. Ne se souvenant plus de l’aire du trapèze, ils ont cherché la formule à l’aide d’un moteur de recherche. Le logiciel a été utile pour effectuer des tracés et pour, ensuite, vérifier le résultat obtenu avec la formule de l’aire d’un trapèze.

Pour déterminer l’aire du trapèze, ils ont « compté les carreaux ».

2e variante : un autre groupe a compté les « petits carreaux » (chaque grand carreaux contenant 25 petits carreaux). Ils ont ainsi obtenu une valeur approchée de l’aire sans utiliser l’outil de mesure du logiciel. Leur résultat était plus précis mais la méthode plus laborieuse.

Smartphone en classe IM2

Groupe 2 : plusieurs trapèzes

Le deuxième groupe observé ne se souvenait plus de la formule de l’aire du trapèze et ont estimé qu’il y avait un espace « vide » trop important entre la courbe et le côté du trapèze qui relient les points de coordonnées (1,f(1)) et (3,f(3)).

Ils ont alors créé trois autres points sur la courbe afin qu’il y ait le moins d’espace laissé vacant.

Le téléphone portable a été très utile, car ils ont essayé d’abord en ajoutant un point sur la courbe, puis ils ont augmenté le nombre de points et, par essais successifs, ils ont estimé que trois points étaient suffisants car ils voulaient optimiser les opérations sur le téléphone.

Le téléphone leur a permis de tester plusieurs hypothèses de construction et l’application GeoGebra a permis d’effectuer ces tests rapidement. 

Smartphone en classe IM3

Groupe 3 : Méthode des rectangles

Le troisième groupe observé a dessiné un rectangle dont l’aire minore l’aire sous la courbe et ils ont tracé un deuxième rectangle dont l’aire majore l’aire sous la courbe.

Ils ont estimé que l’aire en trop dans le 2e cas, était à peu près équivalente à l’aire manquante dans le 1e cas.

Ils ont fait la moyenne des deux aires trouvées et ont donné une estimation de l’aire voulue.

Ce groupe d’élèves n’a quasiment pas utilisé le smartphone.

Smartphone en classe IM4   Smartphone en classe IM5

Synthèse en classe :

Après un temps de recherche, nous avons comparé les résultats obtenus par les 3 méthodes.

Les élèves ont estimé qu’ils pouvaient améliorer les résultats en construisant plusieurs trapèzes ou plusieurs rectangles encadrant l’aire voulue.

Les élèves ont ensuite tenté d’améliorer les approximations obtenues.

Certains ont tenté de créer un découpage sophistiqué de l’intervalle en le divisant par un entier n compris entre 1 et 50 pour ensuite additionner les aires. Mais la démarche était trop longue et n’a pas abouti.

Bien que l'étude des méthodes de calcul approché des intégrales ne soient pas au programme, cette approche a permis de sensibiliser les élèves à une démarche de recherche et de narration de recherche.

En effet, le smartphone a permis ensuite de rédiger un petit document collaboratif par groupe. Ce document a été réalisé à l’aide d’un traitement de texte de type etherpad ou en utilisant les outils de l’ENT.

Nous avons donc obtenu un document commun rédigé par les élèves de chaque groupe.

Fin de l’activité :

L’activité s’est terminée de la manière suivante : le professeur donne aux élèves la fonction définie par : Smartphone en classe IM11

Les élèves doivent calculer F(3) – F(1) et constater qu’ils trouvent une valeur très proche de l’aire trouvée à l’aide du logiciel.

Puis il leur est demandé de calculer la dérivée de la fonction F.

Ils comprennent que F est une primitive de f et que nous avons trouvé un moyen de calculer une aire. La suite au prochain épisode !

Bilan :

Le smartphone ne remplace pas un ordinateur, c’est évident. En effet, les élèves ont presque tous indiqué que la manipulation de GeoGebra sur ordinateur est plus aisée.

Cependant, le smartphone a permis d’utiliser rapidement et facilement le logiciel, un traitement de texte et une recherche internet pour certains.

L’idée était de mettre les élèves en activité et qu’ils se servent d’un outil qu’ils utilisent au quotidien et qu’ils maîtrisent.

Comme l’explique Jérome Lagaillarde (Professeur de Lettres modernes au collège Méliès et médiateur ressources et services numériques à l’atelier Canopé) : « Les élèves utilisent leur smartphone tout le temps : pour communiquer, regarder des vidéos, des photographies, écouter de la musique, etc. Pourquoi ne pas en faire un outil d’apprentissage au même titre qu’un cahier, un stylo, un manuel scolaire ? »

Les élèves utilisent aussi le smartphone à d’autres fins en cours de mathématiques : ils peuvent aussi prendre en photo une partie du tableau lorsqu’ils sont un peu en retard et qu’ils n’ont pas eu le temps de tout noter.

Cette activité s’est prolongée de manière inattendue par l’utilisation de l’application « PhotoMath ».

En effet, les élèves ont scanné l’expression : Smartphone en classe IM12

Smartphone en classe IM6 .  Smartphone en classe IM7

Le logiciel a donné toutes les étapes du calcul de l’intégrale à l’aide des primitives.

L’intérêt pédagogique de ce logiciel est sans doute discutable, mais il permet aussi de faire appel à des processus cognitifs et de mémorisation des élèves.

En effet, lorsque l’élève a l’impression de découvrir une astuce amusante, il peut mémoriser plus facilement les techniques mises en œuvre.

Pour en savoir plus, vous pouvez consulter l’article de Jérome Lagaillarde dans la revue « Technologie » n° 208 de Mai 2017. (en téléchargement ci-dessous).

 

Article rédigé par Alain LEVY pour le Giptic de Mathématiques