Exposés Math.en.Jeans 2011-2012 - Les vidéos !

Vous trouverez dans les onglets suivants, très prochainement les vidéos des exposés présentés par les élèves du groupe Math.en.Jeans pour l'année 2011-2012.

Vous pouvez d'ores et déjà y trouver un résumé de leur travail.

Les élèves de 5eme de notre collège ont travaillé avec les élèves de 4eme 2 du collège Camille Claudel. Ils ont présenté un exposé commun lors du Congrès de Poitiers.

Puis les élèves de 5eme ont continué à travailler ces exposés, pour la présentation aux parents du 29 mai.

 

 Un petit rappel des sujets pour cette année :

1) Grillage
Selon un grillage donné (formant des carrés, des rectangles, des losanges) quelle est la chance qu'un objet lancé passe au travers ?
On peut considérer des objets différents : petits cailloux, allumettes...

2) Ange et démon
Sur un échiquier infini jouent à tour de rôle un ange et un démon.
L'ange se déplace d'une case : nord/sud ou est/ouest.
Le démon lorsqu'il joue "neutralise" une case à laquelle l'ange ne pourra plus accéder.
Le démon est-il certain de pouvoir encercler l'ange ? Si oui en combien de "coups" ?
Que se passe-t-il si on change les déplacements possibles de l'ange et les actions du démon ?

3) Labyrinthe
Déterminer une méthode pour sortir de n'importe quel labyrinthe.

4) Tapis
On choisit une forme de tapis constituée d'un assemblage de carrés.
Quel type de pièce rectangulaire pourra être entièrement recouverte par ces tapis ?
A l'inverse, si on a une pièce donnée, quels sont les formes de tapis qui permettent de la recouvrir ?

grillage

La vidéo de l'exposé


GRILLAGE

Le problème qui nous a été posé et le suivant :

"quel est le nombre de chance qu'un projectile passe a travers un grillage ?"

 

Nous avons d'abord fait un test avec un grillage placé verticalement et des bouts de gommes comme projectiles.

Nous avons constaté que le pourcentage de chance pour que le projectile passe à travers la grille dépend de plusieurs paramètres:

    • la taille et la forme du projectile,

    • l'espace entre les barreaux du grillage,

    • la force du lancer,

    • la trajectoire du lancer,

    • la manière dont la grille est placée

 

Pour limiter notre domaine d'étude, nous avons choisi de retreindre l'expérience aux conditions suivantes :

un projectile très petit qu'on lâche sur une grille placée en dessous, horizontalement. La grille est formée de barreaux épais ( 1cm )

 

Dans un premier temps, nous avons utilisé un grillage de 19cm sur 13cm.

Les espaces sont des carrés de 5cm de côté.

Les barreaux ont 1 cm d'épaisseur.

La surface totale du grillage est de 19 x 13 = 247cm².

 

Nous avons effectué une expérience de 100 lancers. et il y a eu 80% de lancers réussis.

Parallèlement à l'expérience, nous avons fait un calcul théorique.

Le pourcentage de chance que le projectile passe est égal à la surface vide, divisée par surface totale, le tout multiplié par 100 soit environ 61%.

 

Cet écart, assez grand, entre expérience et calcul théorique, nous a poussé à poursuivre nos expériences.

 

Dans un deuxième temps, nous avons donc utilisé un autre grillage de mêmes dimensions 19 sur 13 avec des espaces rectangulaires.

les espaces sont des rectangles de 5cm sur 3cm de côté.

Nous avons effectué à nouveau 100 lancers et il y a eu 83% de lancers réussis.

Avec les mêmes calculs théoriques que précédemment le résultat théorique est de 55 %.

 

L'écart entre expérience et théorie est ici encore plus grand.

 

Pour expliquer la différence entre les résultats expérimentaux et les calculs théoriques, nous avons formulé plusieurs hypothèses:

 

  • Le nombre de lancers, égal à 100, est peut-être trop petit pour être fiable.

  • Les calculs théoriques considèrent que le projectile a autant de chance d'arriver sur chaque endroit du grillage (dans un coin, comme au centre), alors que, lorsqu'on lance le projectile, on a tendance a lancer plutôt vers le centre du grillage que vers les coins.

  • De plus, lors de la deuxième expérience, ce centre est occupé par un espace entre deux barreaux. Comme le projectile a souvent été lancé au dessus de ce centre, cela accentue les écarts entre expérience et théorie.

  • Enfin, nous avons réalisé que notre calcul théorique ne tenait compte que des surfaces pleines et vides du grillage. Beaucoup d'autres paramètres influent sur l'expérience mais nos calculs n'en ont pas tenu compte.

 

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La vidéo de l'exposé :

ANGE ET DEMON

 « ANGE ET DEMON » est un jeu de plateau dans lequel un ange et un démon s’affrontent.

 L'ange et le démon jouent à tour de rôle :

  • L'ange se déplace d'une case à l'autre
  • Le démon bloque une ou plusieurs cases

Ces cases bloquées sont interdites à l’ange, il ne peut donc plus se, déplacer sur celles-ci.

Le problème qui nous a été posé et le suivant :

"Dans une grille de dimension infinie, le démon peut-il toujours bloquer l'ange ?".  

 

Nous allons d’abord fixer le vocabulaire qu’on emploiera par la suite.

On appelle "pouvoir de l’ange" le nombre de cases de son déplacement. Dans les règles que nous nous sommes fixées, l'ange se déplace toujours d'une case.

On appelle " pouvoir du démon", le nombre de case que le démon peut bloquer par tour.

 Quand on dira que le démon est de force supérieure à l'ange, cela voudra dire que le démon pourra bloquer plus d'une case (puisque l'ange se déplace toujours d'une case)

 

ANALYSEDUJEU 

Dans le jeu, l’ange possède des «sorties».

Nous allons étudier les cas où l’ange peut avoir selon les variantes 4 ou 8 sorties.  

Le démon doit limiter les sorties de l’ange au maximum, jusqu'à l'encercler.

 

PREMIER CAS : l'ange se déplace d'une case : Nord/Sud/Est/Ouest

SITUATIONDE SUPERIORITE(pourledémon)

Commençons avec un démon qui bloque 4 cases ou plus par tour.

L’ange ne marche pas diagonalement, il n’a que 4 sorties donc au premier tour, le démon va bloquer l’ange.

Si le démon en bloque trois, alors l’ange sera bloqué en deux tours.

Si le démon bloque deux cases l'ange sera bloqué en 4 tours.

Nous nous sommes vite aperçus que le démon de force supérieure à l'ange bloquait l’ange assez rapidement.

 

Situationdégalité

Lorsque le démon bloque une case par tour, il peut bloquer l'ange à condition de bien jouer. Le nombre de tours nécessaire dépend de la façon dont l'ange joue.

 

 

DEUXIEME CAS : l'ange se déplace d'une case : Nord/Sud/Est/Ouest mais aussi en diagonale

 SITUATIONDE SUPERIORITE(pourledémon)

Ici l'ange a 8 sorties.

Donc un démon de pouvoir 8 ou plus bloque l'ange en 1 tour.

Si le démon est de pouvoir 7, l'ange est bloqué en 2 tours. De la même manière, un démon de pouvoir 6 ou 5 gagne forcément en 2 tours.

Nous avons encore diminué le pouvoir du démon. Lorsqu'il est de pouvoir 4, s'il bloque d'abord les sorties dans les diagonales, le démon gagne forcément en 3 tours.

Avec un démon de pouvoir 3, on applique la même technique que précédemment. On bloque le maximum de sorties sur les diagonales.

Le nombre de tours nécessaires à la victoire du démon dépend de la manière de jouer de l'ange.

Lorsque le démon peut bloquer 2 cases seulement, il doit être plus attentif à sa façon de jouer. Nous avons mis au point une technique qui permet au démon de gagner à tous les coups. Le démon doit bloquer 2 cases dans la direction du mouvement de l'ange, mais en laissant 2 cases libres entre l'ange et lui. Si on ne laisse pas assez d'espace, l'ange arrive à contourner le démon, et il devient plus difficile de le bloquer.

 

Situationdégalité

Lorsque le démon bloque une case par tour, et que l'ange a 8 sorties possibles, le démon peut encore gagner, mais il doit créer un espace de confinement assez éloigné de l'ange, sinon, l'ange parvient à le contourner et lui échappe.

 

Situationdinfériorité: 

Dans cette situation, l’ange se déplace de plus de cases que le démon n’en bloque.

Le démon, même en mettant une infinité de cases entre lui et l’ange, ne pourra pas l’enfermer. L’ange aura toujours une case d’avance sur le démon.

Donc tôt où tard l’ange va rattraper le démon et ensuite, contourner ses cases disposées.

Donc, l’ange de  force supérieure au démon s’échappe toujours.

 

CONCLUSION : 

Nous en avons donc conclu que lorsque l'ange se déplace d'une case,

- le démon gagne quand il est plus fort ou aussi fort que l’ange

- et l’ange gagne quand il est plus fort que le démon.

 

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La vidéo de l'exposé :

LABYRINTHE

Notre but est de savoir comment sortir d’un labyrinthe, lorsque nous ne connaissons pas les plans de celui-ci évidement.

 

Un labyrinthe c’est une sorte de motif composé de carrefours, de couloirs, d’impasses, d’une entrée et d’une sortie.

Il est apparu dès la préhistoire dans de très nombreuses civilisations sous de nombreuses formes :

  • le labyrinthe géométrique comme le labyrinthe du Minotaure, créé par Dédale, où Thésée doit aller au centre vaincre le Minotaure.
  • il y a, également, le labyrinthe fantastique d’Harry Potter seulement, les murs sont magiques, ils se déplacent tous seuls. Et nous n’allons pas étudier ce point.

 

Nous avons eu une première idée :

Toujours tourner à gauche, lorsque l'on arrive à un carrefour.

Cette méthode marche sur certains labyrinthe mais pas sur tous.

 

Nous avons ensuite eu une deuxième idée :

Longer toujours le même mur, celui de gauche ou celui de droite .

 

Cette méthode fonctionne sur de nombreux labyrinthes.

Nous pensions avoir répondu à la question qui nous était posée lorsqu'un labyrinthe, pourtant simple nous a posé un problème.

Le fait de longer les murs ne permet pas d'atteindre la sortie.

 

On nous a conseillé de représenter le labyrinthe sous forme de graphe, pour avoir de nouvelles idées et essayer de trouver une solution.

Un graphe c’est comme un code d’un labyrinthe donné.

Nous avons représenté sous forme de graphe plusieurs labyrinthes.

Mais finalement, la représentation sous forme de graphe ne nous a pas permis de trouver une nouvelle idée.

 

Nous sommes donc revenus à nos labyrinthes pour tenter de trouver une nouvelle méthode.

 

Nous avons amélioré notre deuxième idée, pour les cas où on revenait à un mur déjà rencontré : il s'agit alors de changer de mur, et de suivre ce nouveau mur.

Cela augmente le nombre de labyrinthe dans lesquels on atteint la sortie.

 

 

CONCLUSION

Nous avons donc une méthode pour sortir d'un grand nombre de labyrinthes.

Mais malgré tous nos efforts, nous n'avons pas trouvé de nouvelle méthode qui fonctionne sur tous les labyrinthes.

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La vidéo de l'exposé :


 

TAPIS

Le but de notre sujet est de remplir avec des tapis identiques, une salle rectangulaire de longueur x et de largeur y.

 

Consigne :

On choisit une forme de tapis constitué d’un assemblage de carrés.

Quel type de salle rectangulaire pourra être entièrement recouvert par ces tapis ?

A l'inverse, si l'on a une salle donnée, quelles sont les formes de tapis qui permettent de la recouvrir ?

Quels types de tapis assemblés par deux ou plus remplissent une salle donnée ?

 

Nous avons certaines contraintes :

  • La salle est rectangulaire.
  • Nous ne pouvons pas superposer un tapis sur un autre tapis.

 

Nous avons principalement travaillé sur un rectangle de longueur 9 et de largeur 8. Et sur le tapis en forme de L constitué de 4 carreaux.

Après plusieurs essais, nous avons remarqué que pour trouver le nombre de tapis dont nous aurions besoin pour remplir une salle : il fallait prendre le nombre de carreaux que contient la salle et le diviser par le nombre de carreaux que contient le tapis.

 

Ainsi, la dimension de la salle est de 9 d'un côté et de 8 de l'autre.

9 x 8 = 72, donc cette salle a 72 carreaux.

72 : 4 et 4 étant le nombre de carreaux du tapis donc cela donne 18 tapis nécessaires pour cette figure.

 

Nous nous sommes ensuite demandé si il suffisait que le nombre de carreaux du tapis soit un diviseur du nombre de carreaux de la salle.

Nous avons regardé plusieurs exemples et constaté, que meme si le nombre de carreaux d'un tapis était un diviseur du nombre total de carreaux de la pièce, la forme du tapis ne permettait pas toujours de recouvrir entièrement la pièce.

 

Nous en avons conclu qu'il est nécessaire que le nombre de carreaux du tapis soit un diviseur du nombre de carreaux de la salle pour que le tapis remplisse la salle mais il ne la pas remplira pas forcément pour autant.

 

Puis, nous avons trouvé une technique qui permet de remplir plus facilement une salle :

En emboîtant certains tapis deux par deux, en les retournant par symétrie centrale, nous obtenons un rectangle.

Alors, ce tapis peut remplir toutes les salles dont les dimensions sont multiples :

  • de la longueur du rectangle obtenu, d'un coté et
  • de la largeur du rectangle, de l'autre coté.

 

Mais tous les tapis, ne forment pas de rectangle en étant emboités deux par deux par symétrie centrale.

Nous avons donc utilisé une autre technique, que nous avons nommée : la technique de coupure.

Elle consiste à emboîter plus de deux tapis jusqu’à la formation d’un rectangle.

 

Conclusion :

Après toutes ces recherches et ces résultats, nous avons pu classer tous ces tapis en deux classes :

  • les tapis emboîtables qui peuvent remplir des salles
  • les tapis non emboîtables, qui, eux, ne pourront jamais remplir aucune salle.