Exposés MathenJeans 2012-2013

Voici les exposés 2012-2013.

Bravo à tous les élèves pour leur travail, et particulièrement aux groupes Kapla et Pythagore qui ont reçu ex aequo, le titre de meilleur exposé.

pythagore2

Pythagore


kaplas

Kapla

Billard


Nous avons travaillé avec le collège Camille Claudel.

Madame Ourthiague et monsieur Robequain nous ont aidé dans nos recherches, ainsi que les chercheurs Antoine Taveneau et Pierre Duchet.

Notre but est de trouver des trajectoires périodiques (qui se répètent) dans un billard triangulaire, et trouver si possible une trajectoire ergodique (qui passe sur toute la surface) dans ce même billard.

 

Méthode :

On sait qu'une boule qui arrive avec un certain angle x, repartira aussi avec cet angle x.

Pour nous familiariser avec le sujet, nous avons testé plusieurs cas sur le carré.

Après les cas que nous avons mis en place, nous sommes passés au sujet de départ : les triangles !

 

Pour trouver rapidement une mesure d'angle, nous avons cherché à partir de la règle suivante :

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

 

Par exemple, les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent tous 60°.

Donc des triangles se forment quand on commence une trajectoire et que la balle rebondit sur la paroi du triangle. Si on sait la mesure de l'angle de départ, on sait la mesure du 3ème angle.

Par exemple : on part à 90°.

180° - (90° + 60°) = 180° – 150° = 30°

Donc on sait que cette balle arrivera à 30°, et qu'elle rebondira par conséquent à 30°.

 

Maintenant, passons à la règle concluante de notre premier problème :

pour prouver qu'une trajectoire est périodique, on réalise la symétrie d'un triangle, puis celle de celui obtenu, etc.


billard

Cet « enchaînement » de triangles représente un seul triangle.

On fait partir une droite d'un point sur un côté du premier triangle, par exemple le milieu, et on fait passer cette droite « à travers » tous les triangles construits.

Quand la droite atteindra le milieu (dans ce cas présent) d'un côté d'un des triangles, et que le triangle est exactement le même que le premier, si on reproduit la droite dans le premier triangle, en utilisant la symétrie, la trajectoire sera périodique.

 

Maintenant, passons au deuxième but de notre projet.

Nous avons cherché pour trouver une trajectoire ergodique, nous avons une piste :

Si on dessine une trajectoire PRESQUE périodique, c'est à dire que la boule n'arrive pas à son point de départ, mais juste à côté. En continuant, on remarque que la boule refait à peu près la même chose, en se décalant de quelques millimètres à chaque fois. En ce cas, la trajectoire serait sûrement ergodique si nous la continuions encore. Seulement, cela risquerait de prendre très longtemps, en sachant qu'elle peut devenir périodique à tout moment.

En conclusion, nous avons sans doute trouvé comment faire pour trouver une trajectoire ergodique, mais en sachant qu'il faut du temps pour la trouver.

Les cartes

Fausse pièce